Coryho princip polynomů

Systematický přístup k bezchybnému dělení polynomů – zvlášť když v děliteli nebo dělenci „chybí" některé mocniny.

Co je Coryho princip polynomů (CPP)?

Coryho princip polynomů (CPP) je pravidlo, které říká, že při dělení polynomů musíme oba výrazy – dělenec i dělitel – seřadit od nejvyššího exponentu po nejmenší.

Klíčová pravidla CPP

  1. Seřaď oba polynomy od nejvyšší mocniny x po absolutní člen (x0).
  2. Doplň chybějící mocniny jako 0xk. Pokud například dělitel obsahuje x5, x3, x1, x0, ale chybí x4 a x2, doplň je jako 0x4 a 0x2.
  3. Zapisuj členy se stejným exponentem pod sebe. Při odečítání tak každý člen odpovídá přesně členu nad sebou – nemůže se stát, že omylem odečteš „špatné" mocniny.
  4. Kontroluj správnost v každém kroku – díky sloupcovému zarovnání okamžitě vidíš, zda jsi nic nepřeskočil.

Proč je CPP důležitý?

Zvlášť u polynomů s „mezerami" (řídkých polynomů) se při klasickém zápisu snadno stane, že odečtete člen s exponentem 3 od členu s exponentem 2. CPP tuto chybu eliminuje, protože každý sloupec odpovídá právě jedné mocnině.

Příklad řídkého dělitele: x5 − x3 + x − 1  ⟶  chybí x4 a x2. Podle CPP zapíšeme: x5 + 0x4 − x3 + 0x2 + x − 1.

Názorný postup řešení pomocí CPP

Následující diagram ukazuje, jak CPP funguje v praxi – všimněte si sloupcového zarovnání a doplnění chybějících mocnin jako 0xk:

Diagram Coryho principu polynomů – sloupcové zarovnání při dělení polynomů

Obr. 1 – Coryho princip polynomů: sloupcové zarovnání, doplnění 0x² a ukázkový výpočet

Postup krok za krokem

  1. Zapiš dělenec a dělitel – seřaď od nejvyšší mocniny, doplň chybějící členy jako 0xk.
  2. Vyděl první člen dělence prvním členem dělitele → první člen podílu.
  3. Vynásob celý dělitel tímto členem podílu.
  4. Odečti – zapiš výsledek tak, aby členy se stejnými exponenty byly přesně pod sebou.
  5. Stáhni další členy dělence a opakuj od kroku 2.
  6. Pokračuj, dokud stupeň zbytku není menší než stupeň dělitele.

10 příkladů s kompletním řešením

Příklad 1

Zadání:

(x8 − x7 + x5 − x4 + x2 − 1) ÷ (x5 − x3 + x − 1)

Výsledek:

x3 − x2 + 1 + x4 − x3 + x2 − xx5 − x3 + x − 1
Příklad 2

Zadání:

(x8 + x6 − x4 + x2 − 1) ÷ (x5 + x3 − x)

Výsledek:

x3 − 1 + x4 + x3 − 1x5 + x3 − x

Pozn.: Zbytek x4 + x3 − x2 + x2 − 1 se zjednoduší na x4 + x3 − 1.

Příklad 3

Zadání:

(x7 − x6 + x4 − x2 + x − 1) ÷ (x5 − x2 + 1)

Výsledek:

x2 − x + x4 − x2 + x − 1x5 − x2 + 1
Příklad 4

Zadání:

(x8 + x5 − x3 + x − 2) ÷ (x5 − x3 + x2 − 1)

Výsledek:

x3 + 1 + x4 − x2 + x − 1x5 − x3 + x2 − 1
Příklad 5

Zadání:

(x8 − x7 + x5 + x3 − x + 1) ÷ (x5 + x3 − x)

Výsledek:

x3 − x2 + x4 − x3 + x2 + 1x5 + x3 − x
Příklad 6

Zadání:

(x7 + x6 − x4 + x2 − 1) ÷ (x5 − x3 + 1)

Výsledek:

x2 + x + −x3 + 2x2 − 1x5 − x3 + 1

Pozn.: Zbytek −x3 + x2 + x2 − 1 se zjednoduší na −x3 + 2x2 − 1.

Příklad 7

Zadání:

(x8 − x6 + x4 − x2 + 1) ÷ (x5 + x2 − 1)

Výsledek:

x3 − x + x3 − x2 + x + 1x5 + x2 − 1
Příklad 8

Zadání:

(x8 + x7 − x5 + x3 − x2 + 1) ÷ (x5 − x3 + x − 1)

Výsledek:

x3 + x2 + x4 − x2 + x + 1x5 − x3 + x − 1
Příklad 9

Zadání:

(x7 − x5 + x4 − x3 + x − 1) ÷ (x5 + x3 − x2 + 1)

Výsledek:

x2 − 1 + −x4 + x3 − x2 + xx5 + x3 − x2 + 1
Příklad 10

Zadání:

(x8 + x6 − x5 + x3 − x + 2) ÷ (x5 − x4 + x2 − 1)

Výsledek:

x3 + x + x4 − x3 + x2 + 3x5 − x4 + x2 − 1

Příklady na procvičování

Lehčí úroveň

Lehké
(x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1) ÷ (x − 1)
Lehké
(x4 + 3x3 − 5x2 + 2x − 6) ÷ (x2 + 1)
Lehké
(2x4 − x3 + 3x2 − x + 5) ÷ (x2 − x + 1)

Střední úroveň

Střední
(x6 − x4 + x2 − 1) ÷ (x3 − x + 1)
Střední
(x5 + 2x4 − x2 + 3x − 2) ÷ (x3 + x − 1)

Těžší úroveň (řídké polynomy)

Těžké
(x6 − x5 + x3 − x + 2) ÷ (x4 − x2 + 1)
Těžké
(x7 + x5 − x3 + x − 1) ÷ (x5 − x3 + x)